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    某市环保部门通过研究多年来该地区的大气污染状况后，建立了一个预测该市一天中的大气污染指标f（t）与时间t（单位：小时）之间的关系的函数模型：数学公式，其中，数学公式代表大气中某类随时间t变化的典型污染物质的含量；参数a代表某个已测定的环境气象指标，且数学公式．
    （1）求g（t）的值域；
    （2）求f（t）的最大值M（a）的表达式；
    （3）若该市政府要求每天的大气环境综合指数不得超过2.0，试问：若按给定的函数模型预测，该市目前的大气环境综合指数是否会超标？请说明理由．

    解：（1）因为0≤t≤24，
    得到|t-18|∈[，]，
    根据正弦函数的性质得到g（t）的值域为[0，]；
    （2）由（1）可知g（t）的值域为[0]，f（t）的最大值M（a），
    当a∈[0，]时，M（a）=|+-a|+2a=a+；
    当a∈（，]时，M（a）=|-a|+2a=3a-．
    则有M（a）=；
    （3）当时，M（a）=≤+=＜2；
    当时，M（a）=≤．
    所以若按给定的函数模型预测，该市目前的大气环境综合指数不会超标．
    分析：（1）先根据t的范围求出|t-18|的范围，进而求出|t-18|的范围，然后结合三角函数的性质求出g（t）的值域；
    （2）由题意先求出f（t）的解析式，然后在区间[0，]和（，]上讨论绝对值的取值得到M（a）的解析式为分段函数；
    （3）利用（2）的结论，分时和时分别讨论M（a）的最值与2的关系即可．
    点评：本题考查利用函数知识解决应用题的有关知识．新高考中的重要的理念就是把数学知识运用到实际生活中，如何建模是解决这类问题的关键．同时要熟练地利用导数的知识解决函数的求最值问题．
    练习册系列答案
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    科目：高中数学 来源： 题型：

    某市环保部门通过研究多年来该地区的大气污染状况后，建立了一个预测该市一天中的大气污染指标f（t）与时间t（单位：小时）之间的关系的函数模型：f(t)=|g(t)+
    1
    3
    -a|+2a，t∈[0，24)    ，其中，g(t)=
    1
    2
    sin(
    π
    24
    |t-18|)    代表大气中某类随时间t变化的典型污染物质的含量；参数a代表某个已测定的环境气象指标，且a∈[0，
    3
    4
    ]    ．
    （1）求g（t）的值域；
    （2）求f（t）的最大值M（a）的表达式；
    （3）若该市政府要求每天的大气环境综合指数不得超过2.0，试问：若按给定的函数模型预测，该市目前的大气环境综合指数是否会超标？请说明理由．

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    科目：高中数学 来源：2008年上海市普陀区高考数学一模试卷（解析版） 题型：解答题

    某市环保部门通过研究多年来该地区的大气污染状况后，建立了一个预测该市一天中的大气污染指标f（t）与时间t（单位：小时）之间的关系的函数模型：，其中，代表大气中某类随时间t变化的典型污染物质的含量；参数a代表某个已测定的环境气象指标，且．
    （1）求g（t）的值域；
    （2）求f（t）的最大值M（a）的表达式；
    （3）若该市政府要求每天的大气环境综合指数不得超过2.0，试问：若按给定的函数模型预测，该市目前的大气环境综合指数是否会超标？请说明理由．

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