Question

设等比数列{a_n}的首项为a₁，公比为q，且q＞0，q≠1，
(Ⅰ)若a₁=q^m，m∈Z，且m≥-l，求证：数列{a_n}中任意不同的两项之积仍为数列{a_n}中的项；
(Ⅱ)若数列{a_n}中任意不同的两项之积仍为数列{a_n}中的项，求证：存在整数m，且m≥-1，使得a₁=q^m。

Answer 1

证明：(Ⅰ)设a_r，a_t为等比数列{a_n}中不同的两项，
由a₁=q^m，得a_r·a_t=a₁q^r-1a1q^t-1=a₁q^(r+t+m-1)，
又r+t≥3，且m≥-1，所以r+m+t-l≥1，
所以a_r、a_t是数列{a_n}的第r+m+t-l项。
(Ⅱ)等比数列{a_n}中任意不同两项之积仍为数列{a_n}中的项，
令a_s·a_t=a_l(l，t，s∈N*，t≠s)，
由a_s=a₁·q^s-1，a_t=a₁·q^t-1，a_l=a₁·q^l-1，得a₁·q^s-1·a₁·q^t-1=a₁·q^l-1，a₁=q^l-s-t+1，
令整数m=l-s-t+1，则a₁=q^m，
下证整数m≥-1，
若设整数m＜-1，则-m≥2，令k=-m，
由题设，取a₁，a_k，使a₁·a_k=a_r(r∈N*)，
即a₁·a₁·q^k-1=a₁·q^r-1， 所以q^m·q^-m-1=q^r-1，即q^-1=q^r-1，
因q＞0，q≠1，
故-1=r-1，r=0与r∈N*矛盾！
所以m≥-1。