Question

如图，在棱长为1的正方体ABCD－A₁B₁C₁D₁中，点E是棱BC的中点，点F是棱CD上的动点．

(1)试确定点F的位置，使得D₁E⊥平面AB₁F；

(2)当D₁E⊥平面AB₁F时，求二面角C₁－EF－A的大小(结果用反三角函数值表示)．

Answer 1

答案：
解析：

解法一：(I)连结A1B，则A1B是D1E在面ABB1A；内的射影． 　　∵AB1⊥A1B，∴D1E⊥AB1， 　　于是D1E⊥平面AB1FD1E⊥AF． 　　连结DE，则DE是D1E在底面ABCD内的射影． 　　∴D1E⊥AFDE⊥AF．………4分 　　∵ABCD是正方形，E是BC的中点． 　　∴当且仅当F是CD的中点时，DE⊥AF，即当点F是CD的中点时，D1E⊥平面AB1F． 　　(II)当D1E⊥平面AB1F时，由(I)知点F是CD的中点． 　　又已知点E是BC的中点，连结EF，则EF∥BD．连结AC， 　　设AC与EF交于点H，则CH⊥EF，连结C1H，则CH是C1H在底面ABCD内的射影． 　　C1H⊥EF，即∠C1HC是二面角C1－EF－C的平面角． 　　在Rt△C1CH中，∵C1C＝1，CH＝AC＝， 　　∴tan∠C1HC＝． 　　又因为∠AHC1＝∠C1HC，故二面角C1－EF－A的平面角的正切值为 　　解法二：以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系 　　(1)设DF＝x，则A(0，0，0)，B(1，0，0)，D(0，1，0)， 　　A1(0，0，1)，B(1，0，1)，D1(0，1，1)，E，F(x，1，0) 　　∴ 　　∴ 　　于是， 　　即，故当F是CD中点时， 　　(2)当D1E⊥平面AB1F时，F是CD的中点，又E是BC的中点，连结EF，则EF∥BD．连结AC，设AC与EF交于点H，则AH⊥EF．连结C1H，则CH是C1H在底面ABCD内的射影． 　　∴C1H⊥EF，即∠AHC1是二面角C1－EF－A的平面角． 　　 　　，即二面角C1－EF－A的平面角的正切值为