Question

在平面直角坐标系xOy中，设矩形OPQR的顶点按逆时针顺序排列，且O（0，0），P（1，t），Q（1-2t，2+t），其中t∈（0，+∞）．
（Ⅰ）求顶点R的坐标；
（Ⅱ）求矩形OPQR在第一象限部分的面积．

Answer 1

（Ⅰ）设矩形OPQR对角线的交点为A，根据矩形的性质得到A为OQ及PR的中点，
∵O（0，0），Q（1-2t，2+t），∴A（

1-2t

2

，

2+t

2

），
又P（1，t），则R的坐标为（1-2t-1，2+t-t），即（-2t，2）；（4分）
（Ⅱ）矩形OPQR的面积S₁=|OP|•|PQ|=

1+t2

•

4t2+4

=2（1+t²）．（6分）
1°当1-2t≥0时，设线段RQ与y轴交于点M，
直线RQ的方程为y-2=t（x+2t），（8分）
得点M的坐标为（0，2t²+2），
△OMR面积为S2=

1

2

OM•xR=2t(1+t2)，
∴S（t）=S₁-S₂=2（1-t）（1+t²）．（10分）
2°当1-2t＜0时，设线段RQ与y轴交于点N，
直线RQ的方程为y-t=-

1

t

(x-1)，（12分）
点N的坐标(0，t+

1

t

)，
S(t)=S△OPN=

t2+1

2t

．（14分）
从而S(t)=

2(1-t)(1+t2)，0＜t≤ 1 2 t2+1 2t   t＞ 1 2

．（16分）