Question

如图，过抛物线y²=2px（p＞0）上一定点P（x₀,y₀）（y₀＞0）,作两条直线分别交抛物线于A（x₁,y₁），B（x₂,y₂）.

（1）求该抛物线上纵坐标为的点到其焦点F的距离；?

（2）当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，求的值，并证明直线AB的斜率是非零常数.

Answer 1

思路分析：（1）抛物线上的点到焦点的距离往往利用抛物线的定义转化成到准线的距离.（2）直线被圆锥曲线所截涉及弦的中点、斜率等问题时，可用方程组的知识处理，也可用“代点平方差”的方法解决，后者较简单.?

解：（1）当y=时，x=.

又抛物线y²=2px的准线方程为x=-，由抛物线定义得　　

所求距离为-（-）=.

（2）设直线PA的斜率为k_PA，直线PB的斜率k_PB.

由y₁²=2px₁,y₀²=2px₀,

相减得（y₁-y₀）（y₁+y₀）=2p（x₁-x₀）,?

故k_PA=（x₁≠x₀）.

同理可得k_PB=（x₂≠x₀）.?

由PA、PB倾斜角互补知k_PA=-k_PB，?

即=-,?

所以y₁+y₂=-2y₀,?

故=-2.?

设直线AB的斜率为k_AB.?

由y₂²=2px₂,y₁²=2px₁,?

相减得（y₂-y₁）（y₂+y₁）=2p（x₂-x₁）,?

所以k_AB=（x₁≠x₂）.

将y₁+y₂=-2y₀（y₀＞0）代入得?

k_AB=，所以k_AB是非零常数.

思维启示：直线被圆锥曲线所截时，用“代点平方差”，可得到x₁+x₂,y₁+y₂,x₁-x₂,y₁-y₂的等量关系式，故可解决与弦的中点、直线的斜率有关的问题，但这种方法不能保证直线是否存在，应注意验证.