Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n,且对任意正整数n,都有a_n是n与S_n的等差中项.

(1)求证:a_n=2a_n-1+1(n≥2);

(2)求证:+++…+＜2.

Answer 1

证明:(1)∵a_n是n与S_n的等差中项,∴2a_n=n+S_n,于是2a_n-1=n-1+S_n-1(n≥2).

两式相减得2a_n-2a_n-1=1+S_n-S_n-1,即2a_n-2a_n-1=1+a_n,即a_n=2a_n-1+1(n≥2).

(2)当n=1时,2a₁=1+S₁,即2a₁=1+a₁,∴a₁=1.∴=1＜2.

当n≥2时,∵a_n=2a_n-1+1＞2a_n-1=2(2a_n-2+1)＞2²a_n-2＞…＞2^n-1a₁=2^n-1,

∴当n≥2时，+++…+=+++…+＜1+++…+=2(1-)＜2.∴+++…+＜2.