Question

若F₁、F₂分别为双曲线=1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，O为坐标原点,E在双曲线的左支上，点M在右准线上,且满足=λ()(λ＞0).

(Ⅰ)求此双曲线的离心率；

(Ⅱ)若此双曲线过点()，直线l过其右焦点且与右支交于P、Q两点，若线段PQ的中点R在直线x=t(t≤1)上的射影C满足PC⊥QC，求实数t的取值范围.

Answer 1

解：(Ⅰ),则,则四边形EF₁OM为平行四边形.又由(λ＞0),知点M在∠EF₁O的角分线上,故四边形EF₁OM为菱形,则=c,于是=2a+c,

∴e=+1(e＞1),解得e=2. 

(Ⅱ)e=2,则b²=3a²,即=1(a＞0,b＞0),

将()代入可得a²=1,故有x²=1.

设P点坐标(x₁,y₁),Q点坐标(x₂,y₂), 

则=e(x₁)=ex₁-a=2x₁-1,

=e(x₂)=2x₂-1,∴|PQ|=2(x₁+x₂)-2.

若直线l斜率存在,设其方程为y=k(x-2),则由题设可知

|k|＞,则由得(k²-3)x²-4k²x+(4k²+3)=0(|k|＞) 

又PC⊥QC,∴|RC|=|PQ|,则[2(x₁+x₂)-2].

∴t=,∴k²=,又k²＞3,∴＞3t＜-1.

又当k不存在时,即PQ与x轴垂直,方程为x=2,∴R(2,0),

C(t,0),P(2,3),Q(2,-3),满足PC⊥QC,则易求得t=-1.综上可得：t≤-1.