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    在一个选拔项目中，每个选手都需要进行4轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答者进入下一轮考核，否则被淘汰．已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮问题的概率分别为
    5
    6
    、
    4
    5
    、
    3
    4
    、
    1
    3
    ，且各轮问题能否正确回答互不影响．
    （Ⅰ）求该选手进入第三轮才被淘汰的概率；
    （Ⅱ）求该选手至多进入第三轮考核的概率；
    （Ⅲ）该选手在选拔过程中回答过的问题的个数记为X，求随机变量X的分布列和期望．
    分析：（Ⅰ）求该选手进入第三轮才被淘汰即第一、二轮均通过，而第三轮未通过，利用独立事件的概率求解即可．
    （Ⅱ）求该选手至多进入第三轮考核分为三类，第一轮被淘汰、第二轮被淘汰、第三轮被淘汰，此三类事件互斥，分别求概率取和即可．
    （Ⅲ）X的所有可能取值为1，2，3，4，分别求概率即可．
    解答：解：设事件Ai（i=1，2，3，4）表示“该选手能正确回答第i轮问题”，
    由已知P(A1)=
    5
    6
    ，P(A2)=
    4
    5
    ，P(A3)=
    3
    4
    ，P(A4)=
    1
    3
    ，
    （Ⅰ）设事件B表示“该选手进入第三轮被淘汰”，
    则P(B)=P(A1A2
    .
    A
    3    )=P(A1)P(A2)P(
    .
    A
    3    )    =
    5
    6
    ×
    4
    5
    ×(1-
    3
    4
    )=
    1
    6
    ．
    （Ⅱ）设事件C表示“该选手至多进入第三轮考核”，
    则P(C)=P(
    .
    A
    1    +A1
    .
    A
    2    +A1A2
    .
    A
    3    )    =P(
    .
    A
    1    )+P(A1
    .
    A
    2    )+P(A1A2
    .
    A
    3    )=
    1
    6
    +
    5
    6
    ×
    1
    5
    +
    5
    6
    ×
    4
    5
    ×(1-
    3
    4
    )=
    1
    2
    ．
    （Ⅲ）X的可能取值为1，2，3，4.P(X=1)=P(
    .
    A
    1    )=
    1
    6
    ，P(X=2)=P(A1
    .
    A
    2    )=
    5
    6
    ×(1-
    4
    5
    )=
    1
    6
    ，P(X=3)=P(A1A2A3
    .
    A4
    )=
    5
    6
    ×
    4
    5
    ×
    3
    4
    ×
    1
    3
    =
    1
    6
    ，P(X=4)=P(A1A2A3)=
    5
    6
    ×
    4
    5
    ×
    3
    4
    =
    1
    2
    ，
    所以，X的分布列为
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    E(X)=1×
    1
    6
    +2×
    1
    6
    +3×
    1
    6
    +4×
    1
    2
    =3    ．
    点评：本题考查相互独立事件的概率和随机事件的分布列、期望问题，考查运用概率知识解决实际问题的能力．
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    ，且各轮问题能否正确回答互不影响．
    （Ⅰ）求该选手进入第三轮才被淘汰的概率；
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    （Ⅱ）求该选手至多进入第三轮考核的概率；

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    （Ⅱ）求该选手至多进入第三轮考核的概率；

     

     

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    （Ⅰ）求该选手进入第三轮才被淘汰的概率；

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