Question

18．设函数f（x）=e^x（x³-3x+2-c）+x（x≥-2），若不等式f（x）≥0恒成立，则实数c的最大值是-2e²．

Answer 1

分析 问题转化为c≤x³-3x+2+$\frac{x}{{e}^{x}}$，（x≥-2），令h（x）=x³-3x+2+$\frac{x}{{e}^{x}}$，（x≥-2），求出h（x）的最小值，从而求出c的最大值即可．

解答 解：∵函数f（x）=e^x（x³-3x+2-c）+x（x≥-2），若不等式f（x）≥0恒成立，
则c≤x³-3x+2+$\frac{x}{{e}^{x}}$，（x≥-2），
令h（x）=x³-3x+2+$\frac{x}{{e}^{x}}$，（x≥-2），
h′（x）=（x-1）[3（x+1）-e^-x]，
令h′（x）＞0，解得：x＞1或x＜x₀，（-1＜x₀＜0），
令h′（x）＜0，解得：x₀＜x＜1，
∴h（x）在[-2，x₀）递增，在（x₀，1）递减，在（1，+∞）递增，
∴h（x）的最小值是h（-2）或h（1），
而h（-2）=-2e²＜h（1）=$\frac{1}{e}$，
∴c≤-2e²，c的最大值是-2e²；
故答案为：-2e²．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，函数恒成立问题，是一道中档题．