Question

已知函数f（x）=|2x-1|+|x+2|+2x（x∈R），
（Ⅰ）求函数f（x）的最小值；
（Ⅱ）已知m∈R，命题p：关于x的不等式f（x）≥m²+2m-2对任意x∈R恒成立；命题q：指数函数y=（m²-1）^x是增函数．若“p或q”为真，“p且q”为假，求实数m的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）化简函数f（x）的解析式，作出函数f（x）的图象，可知函数f（x）在x=1处取得最小值1．
（Ⅱ）解一元二次不等式求得命题p：-3≤m≤1，求得命题q：m＜- 或m＞．若p真q假，求得m的范围；若p假q真，求得得m的范围，再把这2个m的范围取并集，即得所求．
解答：解：（Ⅰ）由函数f（x）=|2x-1|+|x+2|+2x 得 f（x）=，
作出函数f（x）的图象，可知函数f（x）在x=1处取得最小值1．（4分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）得m²+2m-2≤1，
即m²+2m-3≤0，解得-3≤m≤1，
∴命题p：-3≤m≤1．（6分）
对于命题q，函数y=（m²-1）^x 是增函数，则m²-1＞1，即 m²＞2，
∴命题q：m＜- 或m＞．（8分）
由“p或q”为真，“p且q”为假可知有以下两个情形：
若p真q假，则解得-≤m≤1，（10分）
若p假q真，则  解得m＜-3或m＞，
故实数m的取值范围是（-∞，-3）∪[-，1]∪（，+∞）．（12分）
点评：本题主要考查带由绝对值的函数，一元二次不等式的解法，复合命题的真假，体现了数形结合的数学思想，属于中档题．