Question

已知数列{a_n}满足：a₁=a₂=a₃=2，a_n+1=a₁a₂…a_n-1(n≥3)，记

(n≥3)．

(1)求证数列{b_n}为等差数列，并求其通项公式；

(2)设，数列{}的前n项和为S_n，求证：n<S_n<n+1．

Answer 1

解：(1)方法一  当n≥3时，因①，

故②． ……………………………………2分

②-①，得  b_n-1-b_n-2===1，为常数，

所以，数列{b_n}为等差数列． …………………………………………………………5分

因  b₁==4，故  b_n=n+3．   ……………………………………8分

方法二  当n≥3时，a₁a₂…a_n=1+a_n+1，a₁a₂…a_na_n+1=1+a_n+2，

将上两式相除并变形，得  ．……………………………………2分

于是，当n∈N*时，

     

      ．

又a₄=a₁a₂a₃-1=7，故b_n=n+3(n∈N*)．

所以数列{b_n}为等差数列，且b_n=n+3． ………………………………………………8分

(2) 方法一  因  ，…………………12分

故  ．

所以  ， ………15分

即  n＜S_n＜n+1． ………………………………………………………………………16分

方法二  因，故>1，．……………………10分

=<<，

    故<，于是．……………………………………16分

第(2)问，为了结果的美观，将S_n放缩范围放得较宽，并且可以改为求不小于S_n的最小正整数或求不大于S_n的最大正整数．

本题（2）的方法二是错误的，请不要采用。

注意

=<<，

    故<，于是．

于是。（这一步推理是错误的）