Question

（18）如图，正方形ABCD、ABEF的边长都是1，而且平面ABCD、ABEF互相垂直.点M在AC上移动，点N在BF上移动，若CM＝BN＝a （0＜a＜）.

（Ⅰ）求MN的长；

（Ⅱ）当a为何值时，MN的长最小；

（Ⅲ）当MN长最小时，求面MNA与面MNB所成的二面角α的大小.

Answer 1

（18）本小题主要考查线面关系、二面角和函数极值等基础知识，考查空间想象能力和推理论证能力.

解：（Ⅰ）作MP∥AB交BC于点P，NQ∥AB交BE于点Q，连结PQ，依题意可得MP∥NQ,且MP＝NQ，

即MNQP是平行四边形，∴MN＝PQ.　　　　　　　　　　　　

由已知，

CM＝BN＝a,CB＝AB＝BE＝1,

∴AC＝BF＝，

＝,＝.

即CP＝BQ＝.

∴MN＝PQ＝

＝

＝（0＜a＜）.　　　　　　　　　　　

 

（Ⅱ）由（Ⅰ）,

MN＝,

所以，当a＝时，MN＝.

即M、N分别移动到AC、BF的中点时，MN的长最小，最小值为.

 

（Ⅲ）取MN的中点G，连结AG、BG，

∵AM＝AN,BM＝BN,G为MN的中点

∴AG⊥MN，BG⊥MN，∠AGB即为二面角α的平面角，

又AG＝BG＝，所以，由余弦定理有cosα＝.

故所求二面角α＝arccos（－）.