Question

设{a_n}，{b_n}是公比不相等的两个等比数列，c_n＝a_n＋b_n，

证明数列{c_n}不是等比数列．

 

Answer 1

答案：
解析：

证法一：设an＝aqn－1，bn＝bpn－1，且p≠q，则cn＝aqn－1＋bpn－1 若为等比数列为一常数(n∈N*)p＝q． ∴当p≠q时，数列{cn}不是等比数列． 证法二：设cn＝an＋bn成等比数列，则 (an＋bn)2＝(an－1＋bn－1)(an＋1＋bn＋1)． ∵{an}与{bn}是等比数列，∴an2＝an－1·an＋1，bn2＝bn－1·bn＋1 整理上式并将其代入，得2anbn＝an＋1bn－1＋an－1bn＋1． 设{an}与{bn}的公比分别为p和q（p≠q）， 所以，2＝p··q，即2＝． 而＞2，矛盾． ∴cn＝an＋bn不能成等比数列． 证法三：设{an}、{bn}的公比分别为p、q(p≠q)． ∵cn＝an＋bn， ∴c22－c1c3＝(a1p＋b1q)2－(a1＋b1)(a1p2＋b1q2)＝－a1b1(q－p)2． 又∵a1，b1≠0，p≠q， ∴c22－c1c3≠0，即c22≠c1c3． ∴数列{cn}不是等比数列． 证法四：假设数列{cn}为等比数列，又设数列{an}，{bn}的公比分别为p、q，p≠q． ∵cn＝an＋bn，∴cn＋12＝cn·cn＋2 即(an＋1＋bn＋1）2＝(an＋bn)(an＋2＋bn＋2)． ∴(anp＋bnq)2＝(an＋bn)(anp2＋bnq2)． 化简得p2＋q2＝2pq，即p＝q，这与p≠q矛盾． ∴数列{cn}不是等比数列．