Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，且2an=Sn+2n+1(n∈N+)
（1）求a₁，a₂，a₃的值；
（2）求证：数列{a_n+2}是等比数列．

Answer 1

分析：（1）根据2an=Sn+2n+1(n∈N+)，分别取n=1，n=2，n=3可求出a₁，a₂，a₃的值；
（2）根据2an=Sn+2n+1(n∈N+)则当n≥2时，2a_n-1=S_n-1+2（n-1）+1，两式作差变形可得a_n+2=2（a_n-1+2），然后根据等比数列的定义进行判定即可．

解答：解：（1）令n=1得2a₁=a₁+3解得a₁=3
令n=2得2a₂=S₂+5=a₁+a₂+5解得a₂=8
令n=3得2a₃=S₃+5=a₁+a₂+a₃+7解得a₃=18
（2）∵2an=Sn+2n+1(n∈N+)
∴当n≥2时，2a_n-1=S_n-1+2（n-1）+1
两式作差得2a_n-2a_n-1=S_n-S_n-1+2=a_n+2（n≥2）
∴a_n=2a_n-1+2则a_n+2=2（a_n-1+2），而a₁+2=5≠0
∴数列{a_n+2}是首项为5，公比为2的等比数列．

点评：本题主要考查了数列的递推关系，以及等比数列的判定，同时考查了运算求解的能力，属于中档题．