Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60°，对角线AC与BD相交于点O，OP⊥底面ABCD，OP=

3

，E，F分别为BC，AP的中点．
（1）求证：EF∥平面PCD；
（2）求直线EF与平面ABCD所成角的余弦值．

Answer 1

分析：（1）取PD的中点G，连接FG，CG，由三角形中位线定理及平行四边形性质，可得EF∥CG，进而由线面平行的判定定理得到答案．
（2）取OA中点N，连接FN，EN，可得∠FEN即为直线EF与平面ABCD所成角，解三角形可得答案．

解答：解：（1）取PD的中点G，连接FG，CG，
∵FG为△PAD的中位线
∴FG∥AD且，FG=

1

2

AD
在菱形ABCD中，AD∥BC且AD=BC，又由E为BC的中点
∴CE∥AD且，CE=

1

2

AD
∴CE∥FG且，CE=FG
∴四边形EFCG为平行四边形
∴EF∥CG
又∵EF?平面PCD，CG?平面PCD
∴EF∥平面PCD；
（2）取OA中点N，连接FN，EN，
∵F为PA的中点，故FN∥PO，
∵OP⊥底面ABCD，
∴FN⊥底面ABCD，
∴∠FEN即为直线EF与平面ABCD所成角，
在△EFN中，FN=

1

2

OP=

3

2

，NE=

13

2

，EF=2
由余弦定理得：cos∠FEN=

13

4

即直线EF与平面ABCD所成角的余弦值为

13

4

点评：本题考查的知识点是直线与平面平行的判定，线面夹角，其中（1）的关键是要在平面内找到一条可能与EF平行的直线；（2）的关键是找出线面夹角的平面角．