Question

（2012•葫芦岛模拟）已知a_n=

∫

n 0

（2x+1）dx，数列{

1

an

}的前n项和为S_n，b_n=n-33，n∈N^*，则b_nS_n的最小值为

-

70

3

．

Answer 1

分析：由题意，先由微积分基本定理求出a_n再根据通项的结构求出数列{

1

an

}的前n项和为S_n，然后代入求b_nS_n的最小值即可得到答案

解答：解：a_n=

∫

n 0

（2x+1）dx=（x²+x）

|

n 0

=n²+n
∴

1

an

=

1

n2+n

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

∴数列{

1

an

}的前n项和为S_n=

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

=1-

1

n+1

=

n

n+1

又b_n=n-33，n∈N^*，
则b_nS_n=

n

n+1

×（n-33）=n+1+

34

n+1

-35≥2

34

-35，等号当且仅当n+1+

34

n+1

，即n=

34

-1时成立，
由于n是正整数，且

34

-1∈（4，5），后面求n=4，n=5时b_nS_n的值
当n=4时，b_nS_n=

n

n+1

×（n-33）=-

106

5

；当n=5时，b_nS_n=

n

n+1

×（n-33）=-

70

3

由于-

106

5

＞-

70

3

，故b_nS_n的最小值为-

70

3

故答案为-

70

3

点评：本题考查微积分基本定理及数列的求和，数列的最值等问题，综合性强，知识转换快，解题时要严谨认真，莫因变形出现失误导致解题失败