Question

16．如图，海平面某区域内有A，B，C三座小岛，岛C在A的北偏东70°方向，岛C在B的北偏东40°方向，且A，B两岛间的距离为3海里．
（1）求B，C两岛间的距离；
（2）经测算海平面上一轮船D位于岛C的北偏西50°方向，且与岛C相距3$\sqrt{2}$海里，求轮船在岛A的什么位置．（注：小岛与轮船视为一点）

Answer 1

分析 （1）在△ABC中使用正弦定理得出BC；
（2）在△ABC中求出AC，再在△ACD中利用余弦定理求出AD，利用正弦定理求出∠DAC，得出结论．

解答 解：（1）由题意可得∠ABC=105°，∠BAC=45°，AB=3，
∴∠ACB=30°，
在△ABC中，由正弦定理得$\frac{AB}{sin∠ACB}=\frac{BC}{sin∠BAC}$，
即$\frac{3}{\frac{1}{2}}=\frac{BC}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$，解得BC=3$\sqrt{2}$（海里）．
（2）由题意可知CD=3$\sqrt{2}$，∠ACD=60°，
在△ABC中，由余弦定理得AC=$\sqrt{A{B}^{2}+B{C}^{2}-2AB•BC•cos∠ABC}$=3$\sqrt{2+\sqrt{3}}$，
在△ACD中，由余弦定理AD=$\sqrt{A{C}^{2}+C{D}^{2}-2AC•CDcos∠ACD}$=3$\sqrt{3}$，
由正弦定理得：$\frac{CD}{sin∠DAC}=\frac{AD}{sin∠ACD}$，即$\frac{3\sqrt{2}}{sin∠DAC}=\frac{3\sqrt{3}}{sin60°}$，
解得sin∠DAC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴∠DAC=45°，
∴D船在A岛北偏东25°方向上，距离A岛3$\sqrt{3}$海里处．

点评 本题考查了正弦定理、余弦定理，属于中档题．