Question

在数列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=ca_n+cⁿ⁺¹（2n+1）（n∈N^*），其中实数c≠0．
（1）求a₁，a₂，a₃，a₄；
（2）猜想{a_n}的通项公式并用数学归纳法证明；
（3）若对一切k∈N^*有a_2k＞a_zk-1，求c的取值范围．

Answer 1

（1）由a₁=1，
a₂=ca₁+c²•3=3c²+c=（2²-1）c²+c，…（1分）
a₃=ca₂+c³•5=8c³+c³=（3²-1）c³+c²，…（2分）
a₄=ca₃+c⁴•7=15c⁴+c³=（4²-1）c⁴+c³，…（3分）
（2）猜测a_n=（n²-1）cⁿ+c^n-1，n∈N^*．…（5分）
下用数学归纳法证明．
当n=1时，等式成立；
假设当n=k时，等式成立，即a_k=（k²-1）c^k+c^k-1，…（6分）
则当n=k+1时，a_k+1=ca_k+c^k′+1（2k+1）=c[（k²-1）c^k+c^k-1]+c^k+1（2k+1）
=（k²+2k）c^k+1+c^k=[（k+1）²-1]c^k+1+c^k，…（7分）
综上，a_n=（n²-1）cⁿ+c^n-1对任何n∈N^*都成立．…（8分）
（3）由a_2k＞a_2k-1，得[（2k）²-1]c^2k+c^2k-1＞[（2k-1）²-1]c^2k-1+c^2k-2，…（9分）
因c^2k-2＞0，所以（4k²-1）c²-（4k²-4k-1）c-1＞0．
解此不等式得：对一切k∈N^*，有c＞c_k或c＜c _k′，
其中ck=

(4k2-4k-1)+ (4k2-4k-1)2+4(4k2-1)

2(4k2-1)

，ck/=

(4k2-4k-1)- (4k2-4k-1)2+4(4k2-1)

2(4k2-1)

．…（10分）
易知

lim

k→∞

ck=1，
又由

(4k2-4k-1)2+4(4k2-1)

＜

(4k2-1)2+4(4k2-1)+4

=4k2+1，
知ck＜

(4k2-4k-1)+4k2+1

2(4k2-1)

=

8k2-4k

8k2-2

＜1，…（11分）
因此由c＞c_k对一切k∈N^*成立得c≥1．…（12分）
又ck/=

-2

(4k2-4k-1)+ (4k2-4k-1)2+4(4k2-1)

＜0，
易知c_k′单调递增，故 c_k′≥c₁′对一切k∈N^*成立，
因此由c＜c_k′对一切k∈N^*成立得c＜c1/=-

1+ 13

6

．…（13分）
从而c的取值范围为(-∞，-

1+ 13

6

)∪[1，+∞)．…（14分）．