Question

已知椭圆C的两个焦点分别为F₁（-1，0），F₂（1，0），抛物线E以坐标原点为顶点，F₂为焦点．直线l过点F₂，且交y轴于D点，交抛物线E于A，B两点若F₁B⊥F₂B，则|AF₂|-|BF₂|=________．

Answer 1

4
分析：根据题意，求出抛物线方程为y²=4x．设B（s，t），可得、关于s、t的坐标形式，根据=0列式可得（s+1）（s-1）+t²=0．因为s、t满足t²=4s，所以联解可得s=-2（舍负）．然后根据抛物线的性质，算出A的横坐标s′=+2．最后由抛物线的定义分别算出|AF₂|=+3且|BF₂|=（-1），即可得到|AF₂|-|BF₂|的值．
解答：解：∵抛物线E以坐标原点为顶点，F₂（1，0）为焦点，
∴设B（s，t），可得=（s+1，t），=（s-1，t），
∵F₁B⊥F₂B，
∴=（s+1）（s-1）+t²=0，…（*）
∵点B在抛物线y²=4x上，可得t²=4s
∴方程（*）化简成：s²+4s-1=0
解之得s=-2（舍负），
根据抛物线的定义，可得|BF₂|=s+=-2+1=-1
设点A的坐标为（s′，t′），可得s′===+2
∴|AF₂|=s′+=+2+1=+3
因此，|AF₂|-|BF₂|=+3-（-1）=4
故答案为：4
点评：本题给出抛物线和椭圆，给出抛物线的焦点弦AB，在已知F₁B⊥F₂B的情况下求|AF₂|-|BF₂|的值．着重考查了椭圆、抛物线的标准方程和简单几何性质等知识，属于中档题．