Question

函数f(x)=x2-2kx+k在[0，1]上的最小值为

1

4

，则k等于

1

2

．

Answer 1

分析：由f（x）=x²-2kx+k=（x-k）²+k-k²，对称轴x=k，①当k≤0时，函数f（x）在[0，1]上单调递增，当x=0时，函数有最小值f（0）；②当0＜k＜1时，函数f（x）在[0，k）单调递减，在（k，1]单调递增，当x=k时函数有最小值；③当k≥1时，函数f（x）在[0，1]上单调递减，当x=1时，函数有最小值f（1，结合已知可求

解答：解：∵f（x）=x²-2kx+k=（x-k）²+k-k²，对称轴x=k
①当k≤0时，函数f（x）在[0，1]上单调递增，当x=0时，函数有最小值f（0）=k=

1

4

，不符合题意
②当0＜k＜1时，函数f（x）在[0，k）单调递减，在（k，1]单调递增，当x=k时函数有最小值k-k2=

1

4

，解可得k=

1

2

，符合题意
③当k≥1时，函数f（x）在[0，1]上单调递减，当x=1时，函数有最小值f（1）=1-k=

1

4

，解可得k=

3

4

不符合题意
综上可得，k=

1

2

故答案为：

1

2

点评：本题主要考查了二次函数在闭区间上的最值的求解，解决此类问题的关键是确定函数在所给区间的单调性，而当单调性不确定时，需要分类讨论