Question

5．锐角α，β满足$\frac{sinβ}{sinα}$=cos（α+β），α+β≠$\frac{π}{2}$，求tanβ的最大值．

Answer 1

分析 由已知式子变形可得$\frac{tanα+tanβ}{1-tanαtanβ}$=2tanα，进而可得可得tanβ=$\frac{tanα}{1+2ta{n}^{2}α}$=$\frac{1}{\frac{1}{tanα}+2tanα}$，由基本不等式可得．

解答 解：∵锐角α，β满足$\frac{sinβ}{sinα}$=cos（α+β），α+β≠$\frac{π}{2}$，
∵sinβ=sinαcos（α+β），
∴sin[（α+β）-α]=sinαcos（α+β），
∴sin（α+β）cosα-cos（α+β）sinα=sinαcos（α+β），
∴sin（α+β）cosα=2cos（α+β）sinα，
∴$\frac{sin（α+β）}{cos（α+β）}$=2$\frac{sinα}{cosα}$，即tan（α+β）=2tanα，
∴$\frac{tanα+tanβ}{1-tanαtanβ}$=2tanα，
变形可得tanβ=$\frac{tanα}{1+2ta{n}^{2}α}$=$\frac{1}{\frac{1}{tanα}+2tanα}$≤$\frac{1}{2\sqrt{\frac{1}{tanα}•2tanα}}$=$\frac{\sqrt{2}}{4}$
当且仅当$\frac{1}{tanα}$=tanα即tanα=1即α=$\frac{π}{4}$时取等号，
∴tanβ的最大值为$\frac{\sqrt{2}}{4}$

点评 本题考查两角和与差的三角函数公式，涉及基本不等式求最值，属中档题．