Question

求函数f(x)=2x⁴-2x³-x²+1的极值点与极值．

 

Answer 1

答案：
解析：

由f′(x)=0，容易求得函数的驻点，为了确定驻点是否为函数的极值点，需讨论当自变量x从小到大经过驻点时，f′(x)的符号是否发生变化，为此以驻点为分界点，将定义域划分为若干个区间，分别讨论函数在上述区间中的符号，并由此确定函数f(x)在上述区间的增减性，从而得到所求得的驻点是否为函数f(x)的极值点． 　　f′(x)=8x3-6x2-2x 　　令f′(x)=0 　　即8x3-6x2-2x=0 　　解得f(x)的驻点为x1=-，x2=0，x3=1，上述驻点将函数f(x)的定义域分成四个区间，讨论函数f′(x)在每一区间的符号，确定f(x)的增减性，并列表如下： x f′(x) f(x) (-∞，) - ↘ - 0 极小 (-，0) + ↗ 0 0 极大 (0，1) - ↘ 1 0 极小 (1，+∞) + ↗ 　　由上表可知：函数f(x)的极小点为x=与x=0，相应的极小值分别为f，f(1)=0，函数f(x)的极大点为x=0，相应的极大值为f(0)=1．

提示：

可导函数极值点的一个必要条件：“如果函数f(x)在x0处可导，且在x0处取得极值，那么f′(x0)=0，”这个结论十分重要，对可导函数来说，极值点一定是方程f′(x0)=0的根．方程f′(x0)=0的根叫做函数y=f(x)的驻点，于是可导函数的极值点一定是驻点，但函数的驻点不一定是极值点．利用函数的增减性，可判别函数的驻点是否为极值点：当x由小到大经过x0时，如果f′(x0)的符号由正变负(或由负变正)，那么函数y=f(x)就由递增变为递减(或由递减变为递增)，这样x0就成为函数的极大点(或极小点)，f(x0)也就成为函数的极大值(或极小值)；若f′(x)的符号没有变化，那么x0就不是函数的极值点．求可导函数极值的一般方法：(1)求函数f(x)的导数f′(x)；(2)令f′(x)=0，求出函数f(x)在其定义域内的驻点；(3)确定驻点是否为函数的极值点．