Question

已知数列的首项前项和为，且

（I）证明数列是等比数列；

（II）令，求函数在点处的导数并比较 与的大小.

Answer 1

解：（Ⅰ）由已知

∴时，

两式相减，得，

即，从而，

当时

∴

又，∴，从而      

故总有、

又∵∴从而

即是以为首项，2为公比的等比数列。

（II）由（I）知。

∵

∴。

从而        

由上   

                    （*）

当时，（*）式=0  ∴；

当时，（*）式=－12∴

当时，  

又

∴

即（*）

从而

  （或用数学归纳法：n≥3时，猜想   

      由于n-1>0，只要证明2ⁿ>2n+1。事实上，

      1*     当 n=3时，2³>2×3+1

      不等式成立，

      2*  设n=k时（k≥3），有2^k>2k+1

      则   2^k+1>2(2k+1)

             =4k+2

             =2(k+1)+1+(2k-1).

∵k≥3，∴2k-1>0.

从而  2^k+1>2(k+1)+1+(2k-1)

          >2(k+1)+1

即   n=k+1时，亦有  2ⁿ>2n+1.

综上1*、2*知，2ⁿ>2n+1  对n≥3，n∈N* 都成立。

∴n≥3时，有

综上    n=1时，

        n=2时，

        n≥3时，