Question

已知数列{a_n}中，a₁=a，a₂=2，S_n是数列{a_n}的前n项和，且2S_n=n（3a₁+a_n），n∈N^*．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅲ）若bn=

2  (n=1)  8 an+1•an+2 (n≥2)

T_n是数列{b_n}的前n项和，求T_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据递推式，令n=1，结合S₁=a₁=a，可求a的值；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知Sn=

nan

2

，再写一式，两式相减，可得（n-1）a_n+1=na_n，再利用叠乘法，即可求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅲ）利用裂项法，即可求数列{b_n}的前n项和．

解答：解：（Ⅰ）因为2S_n=n（3a₁+a_n），所以2S₁=3a₁+a₁，因为S₁=a₁=a，所以a=0．…..（3分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知Sn=

nan

2

，所以Sn+1=

(n+1)an+1

2

．
所以an+1=Sn+1-Sn=

(n+1)an+1

2

-

nan

2

．
所以（n-1）a_n+1=na_n．
所以当n≥2时，

an+1

an

=

n

n-1

．
所以

an+1

an

=

n

n-1

，

an

an-1

=

n-1

n-2

，…，

a3

a2

=

2

1

，
所以

an+1

a2

=n．
所以a_n=2（n-1），n≥2．
因为a₁=a=0满足上式，所以a_n=2（n-1），n∈N^*．…..（8分）
（Ⅲ）当n≥2时，bn=

8

2n•2(n+1)

=

2

n(n+1)

=2(

1

n

-

1

n+1

)．…..（10分）
又b₁=2，所以T_n=b₁+b₂+…+b_n=2+2(

1

2

-

1

3

)+…+2(

1

n

-

1

n+1

)=2+2(

1

2

-

1

n+1

)=

3n+1

n+1

所以Tn=

3n+1

n+1

．…..（14分）

点评：本题考查数列递推式，考查数列的通项与求和，正确运用叠乘法、裂项法是解题的关键．