Question

如图，在四棱锥O-ABCD中，OA⊥底面ABCD，底面ABCD是边长为2的正方形，OA=2，M、N、Q分别为OA、BC、CD的中点．
（Ⅰ）证明：DN⊥平面OAQ；
（Ⅱ）求点B到平面DMN的距离．

Answer 1

分析：（Ⅰ）如图建立空间直角坐标，由

AQ

•

DN

=0可得

AQ

⊥

DN

，即AQ⊥DN，又知OA⊥DN，可得DN⊥平面OAQ．
（Ⅱ） 设平面DMN的法向量为

n

=(x，y，z)，由

n • DM =0 n • DN =0

 可得

n

的坐标，利用点B到平面DMN的距离d  = 

| BN • n |

| n |

，求得结果．

解答：解：（Ⅰ）由题意，可知AO，AB，AD两两垂直，于是可如图建立空间直角坐标系，从而可得以下各点的坐标：A（0，0，0），B（2，0，0），D（0，2，0），O（0，0，2），M（0，0，1），N（2，1，0），Q（1，2，0）

AQ

=(1，2，0)，

DN

=(2，-1，0)，
∵

AQ

•

DN

=0．∴

AQ

⊥

DN

．即AQ⊥DN．
又知OA⊥DN，∴DN⊥平面OAQ．
（Ⅱ）设平面DMN的法向量为

n

=(x，y，z)，
由

DM

=(0，-2，1)，

DN

=(2，-1，0)．得

n • DM =0 n • DN =0

即

-2y+z=0 2x-y=0

，
令x=1，得平面DMN的法向量

n

=(1，2，4)，
∴点B到平面DMN的距离d=

| BN • n |

| n |

=

2

21

=

2 21

21

．

点评：本题考查两个向量垂直的条件，线面垂直的判定，用向量法求点到面的距离，体现了数形结合的数学思想，求平面DMN的法向量的坐标是解题的关键．