已知数列{a_n}是各项均不为0的等差数列，公差为d，S_n为其前 n项和，且满足

=S2n-1，n∈N^*．数列{b_n}满足bn=

an•an+1

，T_n为数列{b_n}的前n项和．
（1）求数列{a_n}的通项公式a_n和数列{b_n}的前n项和T_n；
（2）若对任意的n∈N^*，不等式λTn＜n+8•(-1)n恒成立，求实数λ的取值范围；
（3）是否存在正整数m，n（1＜m＜n），使得T₁，T_m，T_n成等比数列？若存在，求出所有m，n的值；若不存在，请说明理由．

（1）在

=S2n-1中，令n=1，n=2，
得

a12=S1

a22=S3

，即

a12=a1

(a1+d)2=3a1+3d

…（1分）
解得a₁=1，d=2，∴a_n=2n-1
又∵a_n=2n-1时，Sn=n2满足

=S2n-1，∴a_n=2n-1…（2分）
∵bn=

an•an+1

(

2n-1

2n+1

)，
∴T_n=

（1-

+…+

2n-1

2n+1

）=

2n+1

． …（4分）
（2）①当n为偶数时，要使不等式λTn＜n+8•(-1)n恒成立，即需不等式λ＜

(n+8)(2n+1)

=2n+

+17恒成立． …（5分）
∵2n+

≥8，等号在n=2时取得．
∴此时λ 需满足λ＜25． …（6分）
②当n为奇数时，要使不等式λTn＜n+8•(-1)n恒成立，即需不等式λ＜

(n-8)(2n+1)

=2n-

-15恒成立． …（7分）
∵2n-

是随n的增大而增大，∴n=1时，2n-

取得最小值-6．
∴此时λ 需满足λ＜-21． …（8分）
综合①、②可得λ的取值范围是λ＜-21． …（9分）
（3）T1=

， Tm=

2m+1

， Tn=

2n+1

，
若T₁，T_m，T_n成等比数列，则(

2m+1

)2=

(

2n+1

)，
即

4m2+4m+1

6n+3

． …（10分）
由

4m2+4m+1

6n+3

，可得

-2m2+4m+1

＞0，即-2m²+4m+1＞0，
∴1-

＜m＜1+

． …（11分）
又m∈N，且m＞1，所以m=2，此时n=12…（12分）
因此，当且仅当m=2，n=12时，数列T₁，T_m，T_n中的T₁，T_m，T_n成等比数列．…（13分）

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科目：高中数学 来源： 题型：

若一个数列各项取倒数后按原来的顺序构成等差数列，则称这个数列为调和数列．已知数列{a_n}是调和数列，对于各项都是正数的数列{x_n}，满足xnan=xn+1an+1=xn+2an+2（n∈N^*）．
（Ⅰ）证明数列{x_n}是等比数列；
（Ⅱ）把数列{x_n}中所有项按如图所示的规律排成一个三角形数表，当x₃=8，x₇=128时，求第m行各数的和；
（Ⅲ）对于（Ⅱ）中的数列{x_n}，证明：

＜

x1-1

x2-1

x3-1

+…+

xn-1

xn+1-1

＜

．

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科目：高中数学 来源： 题型：

（2006•南汇区二模）已知数列{a_n}中，若2a_n=a_n-1+a_n+1（n∈N^*，n≥2），则下列各不等式中一定成立的是（　　）