Question

如图，倾斜角为a的直线经过抛物线y²＝8x的焦点F，且与抛物线交于A、B两点．

(Ⅰ)求抛物线的焦点F的坐标及准线l的方程；

(Ⅱ)若a为锐角，作线段AB的垂直平分线m交x轴于点P，证明|FP|－|FP|cos2a为定值，并求此定值．

Answer 1

答案：
解析：

(Ⅰ)解：设抛物线的标准方程为，则，从而 　　因此焦点的坐标为(2，0)． 　　又准线方程的一般式为． 　　从而所求准线l的方程为． 　　(Ⅱ)解法一：如图(21)图作AC⊥l，BD⊥l，垂足为C、D，则由抛物线的定义知|FA|＝|FC|，|FB|＝|BD|． 　　记A、B的横坐标分别为xxxz，则 　　|FA|＝|AC|＝解得， 　　类似地有，解得． 　　记直线m与AB的交点为E，则 所以． 　　故． 　　解法二：设，，直线AB的斜率为，则直线方程为． 　　将此式代入，得，故． 　　记直线m与AB的交点为，则 　　， 　　， 　　故直线m的方程为． 　　令y＝0，得P的横坐标故 　　． 　　从而为定值．