Question

函数是定义在（-∞，+∞）上的奇函数，且．
（1）求实数a，b，并确定函数f（x）的解析式；
（2）用定义证明f（x）在（-1，1）上是增函数；
（3）写出f（x）的单调减区间，并判断f（x）有无最大值或最小值？如有，写出最大值或最小值．（本小问不需说明理由）

Answer 1

解：（1）∵f（x）是奇函数，∴f（-x）=f（x），即 =-，∴b=0． …（2分）
∵f（）=，∴a=1．
∴f（x）=． …（5分）
（2）任取-1＜x₁＜x₂＜1，f（x₁）-f（x₂）=-
=． …（7分）
∵-1＜x₁＜x₂＜1，∴x₁-x₂＜0，1-x₁•x₂＞0，故 ＜0，
故有f（x₁）-f（x₂）＜0，f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）在（-1，1）上是增函数． …（10分）
（3）单调减区间（-∞，-1]，[1，+∞），…（12分）
当x=-1时有最小值-，当x=1时有最大值． …（14分）
分析：（1）根据奇函数的定义以及f（）=，求出b和a的值，解开得到f（x）的解析式．
（2）利用函数的单调性的定义证明f（x）在（-1，1）上是增函数．
（3）单调减区间（-∞，-1]，[1，+∞），当x=-1时有最小值，当x=1时有最大值．
点评：本题主要考查函数的单调性的判断和证明，用待定系数法求函数的解析式，属于中档题．