Question

如图，矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直，BE∥CF且BE＜CF，∠BCF=，AD=，EF=2。

（1）求证：AE∥平面DCF；
（2）设=λ，当λ取何值时，二面角A-EF-C的大小为。

Answer 1

解：（1）证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴AB∥DC 又BE∥CF，AB∩BE=B， ∴平面ABE∥平面DCF 又AE平面ABE， ∴AE∥平面DCF。
（2）过点E作GE⊥CF交CF于点G， 由已知可得：EG∥BC∥AD，且EG=BC=AD， ∴EG=AD=， 又EF=2， ∴GF=1 ∵四边形ABCD是矩形， ∴DC⊥BC ∵∠BCF=， ∴FC⊥BC， 又平面ABCD⊥平面BEFC，平面ABCD∩平面BEFC=BC ∴FC⊥平面ABCD， ∴FC⊥CD ∴分别以C为原点，CB、CD、CF所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系 设BE=m 由得AB=λm ∴A（，λm，0），E（，0，m），F（0，0，m+1） ∴=（0，-λm，m）， 设平面AEF的法向量为n=（x，y，z） 由， 得 ∴ 令y= 可得平面AEF的一个法向量n=（λ，，λ） 又=（0，λm，0）是平面CEF的一个法向量 ∴ 即 解得 ∴当时，二面角A-EF-C的大小为。