Question

若F₁、F₂为双曲线(a＞0，b＞0)的左、右焦点，O为坐标原点，P在双曲线左支上，M在右准线上，且满足，．

(Ⅰ)求此双曲线的离心率；

(Ⅱ)若此双曲线过点N(2，)，求双曲线方程；

(Ⅲ)设(Ⅱ)中双曲线的虚轴端点为B₁，B₂(B₁在y轴正半轴上)，点A、B在双曲线上，且，求时，直线AB的方程．

当x₁＞0，x₂＞0时，证明：f(x₁)＋f(x₂)＜f(x₁＋x₂)

Answer 1

答案：
解析：

解：(Ⅰ)由知四边形PF1OM为平行四边形， 　　又由知OP平分∠F1OM， 　　∴四边形PF1OM为菱形．　　　　　　　　　　　　2分 　　设双曲线的半焦距为c． 　　由＝c知＝c，＝c， 　　∴＝＋2a＝c＋2a， 　　又＝e，即＝e， 　　∴e2?e?2＝0，解得e＝2(e＝?1舍去)．　　　　　　4分 　　(Ⅱ)∵e＝2＝，∴c＝2a，∴双曲线方程为． 　　将点(2，)代入双曲线方程得 　　，∴a2＝3， 　　故所求双曲线方程为．　　　　　　　　　　6分 　　(Ⅲ)依题意得B1(0，3)，B2(0，?3)．　　　　　　　　　7分 　　∵，∴A、B2、B共线． 　　设直线AB的方程为y＝kx?3． 　　由消去y得(3?k2)＋6kx?18＝0．　　　　　　8分 　　∵双曲线的渐近线为y＝± x， 　　∴当k＝± 时，AB与双曲线只有一个交点，即k≠± ． 　　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 　　x1＋x2＝，x1x2＝， 　　∴y1＋y2＝k(x1＋x2)?6＝，y1y2＝k2x1x2?k(x1＋x2)＋9＝9．　　10分 　　∵＝(x1，y1?3)，＝(x2，y2?3)， 　　由得x1x2＋y1y2?3(y1＋y2)＋9＝0，　　　　　　　　　　　11分 　　∴， 　　∴k2＝5，k＝．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　12分 　　故所求直线AB的方程为y＝x?3或y＝?x?3．　　　　　13分