Question

1．已知椭圆C₁，抛物线C₂的焦点均在x轴上，从两条曲线上各取两个点，将其坐标混合记录于如表中：

x	-2	2	$\sqrt{6}$	9
y	$\sqrt{2}$	-$\sqrt{2}$	-1	3

（1）求椭圆C₁和抛物线C₂的标准方程．
（2）过椭圆C₁右焦点F的直线l与此椭圆相交于A，B两点，若点P为直线x=4上任意一点，
①试证：直线PA，PF，PB的斜率成等差数列．
②若点P在X轴上，设$\overrightarrow{FA}$=λ$\overrightarrow{FB}$，λ∈[-2，-1]，求|$\overrightarrow{PA}$+$\overrightarrow{PB}$|取最大值时的直线l的方程．

Answer 1

分析 （1）设抛物线方程为y²=mx，代入4个点，可得m，检验可知m=1成立，再将其余两个点代入椭圆方程，解得a，b，进而得到椭圆方程；
（2）①讨论当直线AB的斜率为0时，设P（4，y₀），可得结论；当直线AB的斜率不为0时，
设AB：x=ty+2，代入x²+2y²=8，消去x，运用韦达定理和直线的斜率公式，化简整理，再结合向量的坐标表示，向量模的平方即为向量的平方，结合二次函数最值求法，可得t的值，进而得到所求直线方程．

解答 解：（1）设抛物线方程为y²=mx，分别将四个点代入解得m=-1，m=1，m=$\frac{\sqrt{6}}{6}$，m=1，
故抛物线方程为y²=x；即点（2，-$\sqrt{2}$）和（9，3）在抛物线上．
因此（-2，$\sqrt{2}$），（$\sqrt{6}$，-1）两个点为椭圆C₁上两点，
设椭圆方程为：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1，
将上述两个点坐标代入$\frac{4}{{a}^{2}}$+$\frac{2}{{b}^{2}}$=1，$\frac{6}{{a}^{2}}$+$\frac{1}{{b}^{2}}$=1，
解得：a²=8，b²=4，
故椭圆方程为：$\frac{{x}^{2}}{8}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1．　　　　　　　　　　　（4分）
（2）①证明：当直线AB的斜率为0时，
设P（4，y₀），则k_PA+k_PB=y₀=2k_PF，直线PA，PF，PB的斜率成等差数列；       （5分）
当直线AB的斜率不为0时，
设AB：x=ty+2，代入x²+2y²=8，消去x，可得（2+t²）y²+4ty-4=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则y₁+y₂=-$\frac{4t}{2+{t}^{2}}$，y₁y₂=-$\frac{4}{2+{t}^{2}}$，
则有：k_PA+k_PB=$\frac{{y}_{0}-{y}_{1}}{2-t{y}_{1}}$+$\frac{{y}_{0}-{y}_{2}}{2-t{y}_{2}}$=$\frac{4{y}_{0}-（2+t{y}_{0}）（{y}_{1}+{y}_{2}）+2t{y}_{1}{y}_{2}}{4-2t（{y}_{1}+{y}_{2}）+{t}^{2}{y}_{1}{y}_{2}}$=y₀=2k_PF，
则直线PA，PF，PB的斜率成等差数列　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（7分）
$\overrightarrow{②}$因为$\overrightarrow{FA}$=λ$\overrightarrow{FB}$，λ∈[-2，-1]，所以$\frac{{y}_{1}}{{y}_{2}}$=λ，且λ＜0．
又y₁+y₂=-$\frac{4t}{2+{t}^{2}}$，y₁y₂=-$\frac{4}{2+{t}^{2}}$，
则$\frac{（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}}{{y}_{1}{y}_{2}}$=$\frac{{{y}_{1}}^{2}+2{y}_{1}{y}_{2}+{{y}_{2}}^{2}}{{y}_{1}{y}_{2}}$=λ+$\frac{1}{λ}$+2，
又$\frac{（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}}{{y}_{1}{y}_{2}}$=-$\frac{4{t}^{2}}{2+{t}^{2}}$，
即λ+$\frac{1}{λ}$+2=-$\frac{4{t}^{2}}{2+{t}^{2}}$，
由λ∈[-2，-1]，得λ+$\frac{1}{λ}$∈[-$\frac{5}{2}$，-2]，即t²∈[0，$\frac{2}{7}$]，
因为P（4，0），$\overrightarrow{PA}$=（x₁-4，y₁），$\overrightarrow{PB}$=（x₂-4，y₂），
所以$\overrightarrow{PA}$+$\overrightarrow{PB}$=（x₁+x₂-8，y₁+y₂）=（ty₁+ty₂-4，y₁+y₂），
故|$\overrightarrow{PA}$+$\overrightarrow{PB}$|²=（ty₁+ty₂-4）²+（y₁+y₂）²=（-$\frac{4{t}^{2}}{2+{t}^{2}}$-4）²+（-$\frac{4t}{2+{t}^{2}}$）²=$\frac{（8{t}^{2}+8）^{2}+16{t}^{2}}{（2+{t}^{2}）^{2}}$，
令m=2+t²（m∈[2，$\frac{16}{7}$]），则|$\overrightarrow{PA}$+$\overrightarrow{PB}$|²=$\frac{（8m-8）^{2}+16（m-2）}{{m}^{2}}$=64-$\frac{112}{m}$+$\frac{32}{{m}^{2}}$
=2（$\frac{4}{m}$-7）²-34=32（$\frac{1}{m}$-$\frac{7}{4}$）²-34，
当$\frac{1}{m}$=$\frac{7}{16}$　即t²=$\frac{2}{7}$时，|$\overrightarrow{PA}$+$\overrightarrow{PB}$|²的值最大，
此时方程为x=±$\frac{\sqrt{14}}{7}$y+2．    （13分）

点评 本题考查椭圆和抛物线方程的求法，注意运用代入法，考查直线和椭圆方程联立，运用韦达定理，以及向量坐标表示，考查化简整理的运算能力，属于难题．