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    （本小题12分）已知点分别是射线，上的动点，为坐标原点，且的面积为定值2．

    （I）求线段中点的轨迹的方程；

    （II）过点作直线，与曲线交于不同的两点，与射线分别交于点，试求出直线l的斜率的取值范围，并证明：｜PR｜＝｜QS｜。

    （I）由题可设，，，其中.

    则            1分∵的面积为定值2，

    ∴.                 2分

    ，消去，得：．                          4分

    由于，∴，所以点的轨迹方程为（）．  5分

    （II）依题意，直线的斜率存在，设直线的方程为．

    由消去得：，                   

    设点、、、的横坐标分别是、、、，

    ∴由得   6分 解之得：． 8分

    由消去得：，由消去得：，（10分）

    ∴.    又PQ的中点的横坐标为    所以RS的中点与PQ的中点重合，故｜PR｜＝｜QS｜。                        12分

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    (Ⅱ)若(其中是的k*s#5^u导函数)，求函数的k*s#5^u最大值；

    (Ⅲ)当时，求证：.

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    （2）       求这个函数的图像在点处的切线方程。

     

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