Question

如图,在三棱锥S—ABC中,△ABC是边长为8的正三角形,SA=SC=2,二面角SACB的大小为60°.

(1)求证:AC⊥SB;

(2)求二面角S-BC-A的正切值.

Answer 1

(1)证明:取AC的中点D,连结SD、BD,

∵SA=SC,D为AC的中点,

∴SD⊥AC.

∵AB=BC,D为AC的中点,

∴BD⊥AC.又SD∩BD=D,

∴AC⊥面SBD.又SB面SBD,∴AC⊥SB.

(2)解:过O作OH⊥BC于H,连SH,则SH⊥BC,

∴∠SHO为二面角SBCA的平面角.

∵正△ABC的边长为8,∴BD=4.

∵OD==,

∴OB=3.在Rt△OHB中,OH=OB·sin30°=OB=.

在Rt△SOH中,tan∠SHO=,

即二面角S-BC-A的正切值为.