Question

在四棱锥S—ABCD中，∠DAB=∠ABC=90°，侧棱SA⊥底面AC，SA=AB=BC=a，AD=2a.

（1）求证：平面SAC⊥平面SCD；

（2）求二面角A-SD-C的大小；

（3）求异面直线SD与AC所成的角；

（4）设E为BD的中点，求SE与平面SAC所成的角.

Answer 1

证明：（1）以A为原点，AB，AD，AS所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系，

∴A（0，0，0），S（0，0，a），C（a,a,0）,D(0,2a,0).

∴=(0,0,a),=(-a,-a,a),=(-a,a,0).

∴·=0,·=0.

∴CD⊥AS,CD⊥CS.

∴CD⊥平面SAC.

    ∵CD平面SCD，

∴平面SAC⊥平面SCD.

解析：（2）过A作AF⊥SD，过C作CG⊥SD，

则与的夹角就是二面角的平?面角，

则F（0，a,a）,G(0,a,a),

∴=(0,-a,-a),

=(a,-a,-a).

∴cos，＜,＞=.

∴二面角A-SD-C的大小为arccos.

（3）=(0,2a,-a),=(a,a,0)，

∴cos＜,＞=.

∴SD与AC所成的角为arccos.

（4）∵CD垂直于平面SAC，

∴为平面SAC的法向量.=（-a,a,0）,

又E为BD的中点，

∴E（,a,0），

∴=(,a,-a).

∴cos＜,＞=，

∴SE与平面SAC所成的角为-arccos.