Question

如图，公园有一块边长为2的等边△ABC的边角地，现修成草坪，图中DE把草坪分成面积相等的两部分，D在AB上，E在AC上.

（Ⅰ）设AD=x(x0),ED=y，求用x表示y的函数关系式，并注明函数的定义域；

（Ⅱ）如果DE是灌溉水管，为节约成本，希望它最短，DE的位置应在哪里？如果DE是参观线路，则希望它最长，DE的位置又应在哪里？请给予证明.

Answer 1

解：（Ⅰ）在△ADE中，由余弦定理得：

    ，  …………………………………………………………… 1分

 又. ‚   …………  2分

     把‚代入得，

     ∴……………………………………………………………………4分

     ∵      ∴

    即函数的定义域为.…………………………………………………… 6分

（Ⅱ）如果DE是水管，则，

 当且仅当，即时“=”成立，故DE//BC,且DE=.……………… 8分

 如果DE是参观线路，记，则

 ∴函数在上递减，在上递增

 故. …………………………………………………………… 10分

 ∴.

 即DE为AB中线或AC中线时，DE最长.…………………………………………… 12分