Question

要修建一扇环形花圃如下图，外圆弧的半径是内圆弧半径的两倍，周长为定值2l，问当中心角α为多少时，其面积最大，并求其最大面积（中心角的大小限在0～π间）.

Answer 1

答案：
解析：

解法1：设内圆弧半径为r，则外圆弧的半径为2r，由于扇环形花圃周长为定值2l,则2r+α·r+α·2r=2l,解得α=. ∴S扇环=α·（2r）2-α·r2=α·3r2=··3r2=-r2+lr=-(r-)2+. 当r=时，即α=时，扇环的面积最大，且最大值为. 解法2：设内圆弧的半径为r，则外圆弧的半径为2r.由于扇环形花圃周长为定值2l，则2r+α·r+2α·r=2l,解得：r=. ∴S扇环=α·(2r)2-α·r2=α·3r2 =α·3· = =. 当即α=时, S扇环有最大值，且最大值为.