Question

已知函数f（x）=|2x-3|，若0＜2a＜b+1，且f（2a）=f（b+3），则T=3a²+b的取值范围为

（-

5

16

，0）

．

Answer 1

分析：由题意可得|4a-3|=|2b+3|，故4a-3和2b+3互为相反数，解得b=-2a，代入要求的式子可得 T=3a²+b=3(a-

1

3

)2-

1

3

．此函数T在 （0，

1

4

）上是减函数，所以T（

1

4

）＜T＜T（0），由此求得T=3a²+b的取值范围．

解答：解：∵f（x）=|2x-3|，f（2a）=f（b+3），也就是|4a-3|=|2b+3|．
因为 0＜2a＜b+1，所以4a＜2b+2，4a-3＜2b+3，所以必须有4a-3和2b+3互为相反数．
∴4a-3+2b+3=0，故 b=-2a．
再由0＜2a＜b+1可得 0＜2a＜-2a+1，即 0＜a＜

1

4

．
∴T=3a²+b=3a² -2a=3(a-

1

3

)2-

1

3

．
此函数T在 （0，

1

4

）上是减函数，所以T（

1

4

）＜T＜T（0），即-

5

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＜T＜0，
故答案为（-

5

16

，0）．

点评：本题主要考查带有绝对值的函数，利用二次函数的单调性求它在某区间上的值域，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．