Question

已知函数f（x）=log_a（x+1），g（x）=log_a（1-x）（a＞0，且a≠1），且h（x）=f（x）+g（x）．
（1）求函数h（x）的定义域； 
（2）判断函数h（x）的奇偶性，并说明理由；  
（3）求不等式f（x）＞g（x）的解集．

Answer 1

分析：（1）要求函数f（x）+g（x）的定义域，我们可根据让函数解析式有意义的原则，构造不等式组，解不等式组即可得到函数f（x）+g（x）的定义域；
（2）要判断h（x）=f（x）+g（x）的奇偶性，我们根据奇偶性的定义，先判断其定义域是否关于原点对称，然后再判断f（-x）+g（-x）与f（x）+g（x）的关系，结合奇偶性的定义进行判断；
（3）若f（x）＞g（x），则我们可以得到一个对数不等式，然后分类讨论底数取值，即可得到不等式的解．

解答：解：（1）f（x）+g（x）=log_a（x+1）+log_a（1-x）．
若要上式有意义，则

x+1＞0 1-x＞0

，
即-1＜x＜1．
所以所求定义域为{x|-1＜x＜1}
（2）由于h（x）=f（x）+g（x），
则h（-x）=f（-x）+g（-x）
=log_a（-x+1）+log_a（1+x）=h（x）．
所以h（x）=f（x）+g（x）是偶函数．
（3）f（x）＞g（x），
即log_a（x+1）＞log_a（1-x）．
当0＜a＜1时，上述不等式等价于

x+1＞0 1-x＞0 x+1＜1-x

解得-1＜x＜0．
当a＞1时，原不等式等价于

x+1＞0 1-x＞0 x+1＞1-x

，
解得0＜x＜1．
综上所述，当0＜a＜1时，原不等式的解集为{x|-1＜x＜0}；
当a＞1时，原不等式的解集为{x|0＜x＜1}．

点评：本小题主要考查函数单调性的应用、函数奇偶性、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．属于基础题．