Question

已知椭圆,为其右焦点，离心率为.

(Ⅰ)求椭圆C的标准方程；

(Ⅱ)若点，问是否存在直线，使与椭圆交于两点，且．若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【命题意图】本题考查圆与椭圆的方程等相关知识，考查运算求解能力以及分析问题、解决问题的能力．较难题．

解：（Ⅰ）由题意知：，∵离心率，∴，，故所求椭圆C的标准方程为．  ………………………………………………………………………………4分

（Ⅱ）假设存在这样的直线满足题意，设，的中点为．

因为，所以，所以．…………………………5分

由，得．根据题意，，得．且，所以，．………8分

    ∵，∴，即，

∴，∴．

解得，或．………………………………………………………………10分

当时，（），显然符合题意；当时，代入，得，解得．

    综上所述，存在这样的直线，其斜率的取值范围是