Question

如图所示，在多面体ABCDE中，AE⊥平面ABC，BD∥AE，且AC＝AB＝BC＝BD＝2，AE＝1，F为CD的中点． (1) 求证：EF⊥平面BCD (2) 求多面体ABCDE的体积 (3) 求平面CDE与平面ABDE所成二而角的余弦值

Answer 1

答案：
解析：

(1)	解析：如图所示取BC中点G，连结FG、AG． 　　∵AE⊥平面ABC，BD∥AE， ∴ BD⊥平面ABC． 　　又∵AG平面ABC，∴BD⊥AG．又∵AC=AB，G是BC中点，∴AG ⊥BC，∴AG⊥平面BCD 　　∵F是CD的中点且BD=2， 　　∴FG∥BD且FG=BD=1，∴FG∥AE． 　　又∵AE=1，∴AE=FG，故四边形AEFG是平行四边形，从而EF∥AG，∴EF⊥面BCD．
(2)	设AB中点为H，则由AC=AB=BC=2，可得CH⊥AB且CH=． 　　又∵BD∥AE，∴BD与AE共面．又AE⊥平面ABC，故平面ABDE⊥平面ABC， 　　∴CH⊥平面ABDE，即CH为四棱锥C－ABDE的高． 　　故VC－ABDE=SABDE·CH=×[(1＋2)×2]×=．
(3)	过C作CK⊥DE于K，连结KH，由三垂线定理的逆定理得KH⊥DE，∴∠HKC为二面角C－DE－B的平面角． 　　易知EC=，DE=，CD=2， 　　由S△DCE=×(2)×=××CK，可得CK=在Rt△CHK中，sin∠HKC==，故cos∠HKC=． 　　∴平面CDE与平面ABDE所成的二面角的余弦值为． 　　点评：在计算多面体的体积时，要善于将多面体分割化归为常见几何体计算，或者像本题这样换个角度看问题，我们发现此多面体ABCDE即为四棱锥C－ABDE，从而用锥体的体积公式解题．