Question

已知函数f(x)=-

1

3

x3+x2+ax（a∈R）．
（1）若a=3，试确定函数f（x）的单调区间；
（2）若函数f（x）在其图象上任意一点（x₀，f（x₀））处切线的斜率都小于2a²，求实数a的取值范围．
（3）若?x∈[0，2]，f（x）＜0，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）先求导，看其f^′（x）在某区间上是大于0、还是小于0．即可判断出单调区间．
（2）已知问题?2a2-a＞-x02+2x0对任意实数x₀恒成立?2a2-a＞[-x02+2x0]max，x∈R．解出即可．
（3）对x分x=0 与x∈（0，2]讨论，对x∈（0，2]可转化为：当x∈（0，2]时，若?x∈（0，2]，f（x）＜0，??x∈（0，2]，a＜[

1

3

x2-x]max．求出即可．

解答：解：（1）∵函数f(x)=-

1

3

x3+x2+ax（a∈R），∴f^′（x）=-x²+2x+a．
当a=3时，f^′（x）=-x²+2x+3=-（x+1）（x-3）．
当x∈（-∞，-1）或（3，+∞）时，f^′（x）＜0；当x∈（-1，3）时，f^′（x）＞0．
∴函数f（x）在区间（-∞，-1）或（3，+∞）上单调递减；在区间（-1，3）上单调递增．
（2）∵f^′（x）=-x²+2x+a，∴函数f（x）在其图象上任意一点（x₀，f（x₀））处切线的斜率为f′(x0)=-x02+2x0+a，
由题意可知：对任意的实数x₀，-x02+2x0+a＜2a2恒成立．
即2a2-a＞-x02+2x0对任意实数x₀恒成立?2a2-a＞[-x02+2x0]max，x∈R．
令φ（x₀）=-x02+2x0，则φ（x₀）=-(x0-1)2+1≤1，∴[-x02+2x0]max=1．
∴2a²-a＞1，
解得a＞1，或a＜-

1

2

．
∴a的取值范围是（-∞，-

1

2

）∪（1，+∞）．
（3）①当x=0时，f（0）=0，∵0＜0不可能，此时不存在a满足要求；
②当x∈（0，2]时，若?x∈（0，2]，f（x）＜0，??x∈（0，2]，a＜[

1

3

x2-x]max．
∵φ（x）=

1

3

x2-x=

1

3

(x-

3

2

)2-

3

4

，∴φ（x）在区间（0，

3

2

）单调递减，在区间(

3

2

，2]单调递增，但是φ（0）=0＞φ（2），故φ（x）在区间（0，2]上无最大值．
经验证a=0 时适合题意．
∴a≤0．

点评：本题综合考查了利用导数求单调区间、恒成立即存在性问题，转化思想是解决问题的关键．