Question

数列{a_n}中，a₁=1，n≥2时，其前n项的和S_n满足S_n²=a_n（S_n-

1

2

）
（1）求S_n的表达式；
（2）设b_n=

Sn

2n+1

，数列{b_n}的前n项和为T_n，求

lim

n→∞

Tn．

Answer 1

分析：（1）因为n≥2，由s_n-s_n-1=a_n，代入已知等式中求出s_n，然后利用做差法得出

1

sn

为等差数列即可求出通项公式，化简可得s_n；（2）要求T_n的极限，先要求出T_n的通项公式而T_n为数列{b_n}的前n项和，所以先求b_n的通项，可利用第一问中s_n的通项代入到b_n=

Sn

2n+1

中，化简得出b_n后，利用做差法得到T_n，求出极限即可．

解答：解：（1）n≥2，s_n²=（s_n-s_n-1）（s_n-

1

2

）
∴s_n=

sn-1

2sn-1+1

即

1

sn

-

1

sn-1

=2（n≥2）
∴

1

sn

=2n-1故s_n=

1

2n-1

（2）b_n=

sn

2n+1

=

1

(2n+1)(2n-1)

=

1

2

（

1

2n-1

-

1

2n+1

）
T_n=

1

2

（1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+

1

5

-

1

7

+…+

1

2n-1

-

1

2n+1

）+=

1

2

（1-

1

2n+1

）
∴

lim

n→∞

T_n=

1

2

点评：此题考查学生会利用数列的递推式推导数列的通项公式，以及掌握利用做差法求数列和的数学思想解题．本题是中档题．