Question

已知抛物线的顶点在坐标原点，它的准线经过双曲线：的一个焦点且垂直于的两个焦点所在的轴，若抛物线与双曲线的一个交点是．

（1）求抛物线的方程及其焦点的坐标；

（2）求双曲线的方程及其离心率．

                 

Answer 1

已知抛物线的顶点在坐标原点，它的准线经过双曲线：的一个焦点且垂直于的两个焦点所在的轴，若抛物线与双曲线的一个交点是．

（1）求抛物线的方程及其焦点的坐标；

（2）求双曲线的方程及其离心率．

（1）由题意可设抛物线的方程为．     ……………………（9分）         

把代入方程，得      ……………………（4分）                  

因此，抛物线的方程为．              ……………………（5分）                            

于是焦点                                ……………………（7分）                                            

（2）抛物线的准线方程为，

所以，                                  ……………………（8分）                                            

而双曲线的另一个焦点为，于是 

  因此，        ……………………（10分）         又因为，所以．               ……………………（12分） 

于是，双曲线的方程 为              ……………………（14分）

因此，双曲线的离心率．                  ……………………（15分）