Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，a1=

1

2

，Sn=n2an-n(n-1)，n=1，2，…
（1）证明：数列{

n+1

n

Sn}是等差数列，并求S_n；
（2）设bn=

Sn

n3+3n2

，求证：b1+b2+…+bn＜

5

12

．

Answer 1

分析：（1）由Sn=n2an-n(n-1)知，当n≥2时：Sn=n2(Sn-Sn-1)-n(n-1)，由此能够证明{

n+1

n

Sn}是等差数列．并能求出S_n．
（2）由bn=

Sn

n3+3n

=

1

(n+1)(n+3)

=

1

2

(

1

n+1

-

1

n+3

)，利用裂项求和法能够证明b1+b2+…+bn＜

5

12

．

解答：（1）证明：由Sn=n2an-n(n-1)知，
当n≥2时：Sn=n2(Sn-Sn-1)-n(n-1)，…（1分）
即(n2-1)Sn-n2Sn-1=n(n-1)，
∴

n+1

n

Sn-

n

n-1

Sn-1=1，对n≥2成立．                        …（3分）
又

1+1

1

S₁=1，∴{

n+1

n

Sn}是首项为1，公差为1的等差数列．

n+1

n

Sn=1+(n-1)•1…（5分）
∴Sn=

n2

n+1

…（6分）
（2）证明：bn=

Sn

n3+3n

=

1

(n+1)(n+3)

=

1

2

(

1

n+1

-

1

n+3

)…（8分）
∴b1+b2+…+bn=

1

2

(

1

2

-

1

4

+

1

3

-

1

5

+…+

1

n

-

1

n+2

+

1

n+1

-

1

n+3

)
=

1

2

(

5

6

-

1

n+2

-

1

n+3

)＜

5

12

…（12分）

点评：本题考查等差数列的证明和数列前n项公式的求法，考查数列、不等式知识，考查化归与转化、分类与整合的数学思想，培养学生的抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力和创新意识．