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    已知a、b、c∈R，求证：a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca．

    答案：
    解析：

    　　解：∵a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ac，

    　　∴2(a2＋b2＋c2)≥2(ab＋bc＋ca)．

    　　∴a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca．

    　　变式引申：已知a、b、c∈R+求证：a3＋b3＋c3≥3abc．

    　　解：a3＋b3＝a·a2＋b·b2≥a(2ab－b2)＋b(2ab－a2)＝a2b＋ab2．①

    　　同理b3＋c3≥b2c＋bc2，②

    　　c3＋a3≥c2a＋ca2．③

    　　①＋②＋③，得

    　　2(a3＋b3＋c3)≥a(b2＋c2)＋b(a2＋c2)＋c(a2＋b2)≥a·2bc＋b·2ac＋c·2ab＝6abc．

    　　∴a3＋b3＋c3≥3abc．


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    证明：
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    13
    ．

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    1
    a
    +
    1
    2b
    +
    1
    3c
    的最小值为
    9
    9
    ．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （1）已知a，b，c∈R，且a+b+c=1，求证：a2+b2+c2≥
    1
    3
    ；
    （2）a，b，c为互不相等的正数，且abc=1，求证：
    1
    a
    +
    1
    b
    +
    1
    c
    ＞
    		a
    +
    		b
    +
    		c
    ．

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