Question

如图,在直三棱柱ABC—A₁B₁C₁中,∠ACB=90°,AC=BC=,AA₁=6,E、F分别为AA₁与BC₁的中点.

(1)求证：EF∥底面ABC.

(2)求平面EBC₁与底面ABC所成的锐二面角的大小.

Answer 1

答案：方法一:(1)证明:取BC的中点D,连结AD、DF.

∵F为BC₁的中点,∴DF∥CC₁∥AE,DF=CC₁=AA₁=AE.∴四边形EADF为平行四边形.∴EF∥AD.又AD底面ABC,∴EF∥底面ABC.

(2)解：取CC₁的中点M,连结EM、FM,则EM∥AC,FM∥BC,∴平面EFM∥底面ABC.∴平面EBC₁与底面所成的锐二面角等于平面EBC₁与平面EFM所成的锐二面角.作MN⊥EF于N,连结C₁N,则EF⊥C₁N,∠C₁NM为平面EBC₁与平面EFM所成的锐二面角的平面角.

在Rt△EMF中,EM=,MF=,EF=15+,∴MN=.

又C₁M=3,∴在Rt△C₁MN中,tan∠C₁NM=.∴∠C₁NM=60°,即所求锐二面角的大小为60°.

方法二:(1)证明:以C为原点,CA为x轴,CB为y轴,CC₁为z轴建立空间直角坐标系,

则A(,0,0),B(0,,0),C(0,0,6),E(,0,3),F(0,,3),取BC中点D,则D(0,,0),

∴=(-,,0),=(-,,0).∴=.∴EF∥平面ABC.

(2)解：设平面EBC₁的法向量为n=(x,y,z),又BE=(,-,3),

由n⊥,得n·=0,即x-y+3z=0;①

由n⊥,得n·=0,即-x+y+0·z=0.②

由①②知可取n=(3,6,).

又平面ABC的一个法向量为m=(0,0,1),

∴cos〈m,n〉=.

∴〈m,n〉=60°.

∴所求锐二面角的大小为60°.