Question

已知函数y=

1

2

cos2x+

3

2

sinx•cosx+1（x∈R）．   
（1）求y的最大值及此时的x的值的集合；    
（2）该函数图象可由y=sinx的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到？

Answer 1

分析：（1）利用二倍角公式、两角和的正弦函数化简函数为 一个角的三角函数的形式，即可求出函数的最大值，以及x 的值．
（2）该函数图象可由y=sinx的图象，按照向左平移，横向伸缩，纵向伸缩，上下平移的方法，即可得到函数的解析式．

解答：解：（1）y=

1

2

cos2x+

3

2

sinx•cosx+1
=

1

4

(1+cos2x)+

3

4

sin2x+1
=

1

2

sin(2x+

π

6

) +

5

4

，
所以ymax=

7

4

，此时x的集合是{x|x=kπ+

π

6

，k∈Z}．
（2）函数图象可由y=sinx的图象经过向左平移

π

6

单位，横向缩短到原来的

1

2

，纵坐标不变，纵向缩短到原来的

1

2

，横坐标不变，然后把函数的图象向上平移

5

4

单位，即可得到函数y=

1

2

sin(2x+

π

6

) +

5

4

的图象．

点评：本题是中档题，考查三角函数的化简求值，牢记三角函数的公式，在解题时才能灵活应用，函数图象的变换注意x 的系数．