Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB∥DC，△PAD是等边三角形，已知BD=2AD=8，AB=2DC=．
（I）设M是PC上的一点，证明：平面MBD⊥平面PAD；
（Ⅱ）求三棱锥C-PAB的体积．

Answer 1

证明：（Ⅰ）∵在△ABD中，由于AD=4，BD=8，
∴AD²+BD²=AB²，
∴AD⊥BD，
又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，BD?平面ABCD，
∴BD⊥平面PAD．…（4分）
又BD?平面MBD，
∴平面MBD⊥平面PAD．
（Ⅱ）过P作PO⊥AD交AD于O，
∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，
∴PO⊥平面ABCD．
∴PO为棱锥P-ABC的高．
又△PAD是边长为4的等边三角形，
∴PO=×4=2．
又S_△ABC=S_△ABD
=•AD•BD
=16，
∴V_棱锥C-PAB=V_棱锥P-ABC
=×16×2
=．
分析：（Ⅰ）在△ABD中，由题意可得AD²+BD²=AB²，故AD⊥BD；由平面PAD⊥平面ABCD的性质定理可得，BD⊥平面PAD，最后由面面垂直的判定定理即可证得平面MBD⊥平面PAD；
（Ⅱ）过P作PO⊥AD交AD于O，则PO⊥平面ABCD，△PAD是边长为4的等边三角形，可求得PO=2，由V_棱锥C-PAB=V_棱锥P-ABC即可求得答案．
点评：本题考查平面与平面垂直的判定，考查棱锥的体积，熟练掌握线面垂直、面面垂直的判定定理是解决问题的先决条件，注重锥体体积轮换公式的考查，属于中档题．