Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，满足S_n+2n=2a_n
（1）证明：数列{a_n+2}是等比数列．并求数列{a_n}的通项公式a_n；
（2）若数列{b_n}满足b_n=log₂（a_n+2），设T_n是数列的前n项和．求证：．

Answer 1

【答案】分析：（1）由S_n+2n=2a_n，知S_n=2a_n-2n．当n=1 时，S₁=2a₁-2，则a₁=2，当n≥2时，S_n-1=2a_n-1-2（n-1），故a_n=2a_n-1+2，由此能够证明数列{a_n+2}是等比数列．并能求出数列{a_n}的通项公式a_n．
（2）由b_n=log₂（a_n+2）==n+1，得，故，由此利用错位相减法能够求出T_n，并证明．
解答：证明：（1）由S_n+2n=2a_n得 S_n=2a_n-2n
当n∈N^*时，S_n=2a_n-2n，①
当n=1 时，S₁=2a₁-2，则a₁=2，
则当n≥2，n∈N^*时，S_n-1=2a_n-1-2（n-1）．②
①-②，得a_n=2a_n-2a_n-1-2，
即a_n=2a_n-1+2，
∴a_n+2=2（a_n-1+2）
∴，
∴{a_n+2}是以a₁+2为首项，以2为公比的等比数列．
∴a_n+2=4•2^n-1，
∴a_n=2ⁿ⁺¹-2．
（2）证明：由b_n=log₂（a_n+2）==n+1，
得，
则，③
  ④
③-④，得
=
=
=，
所以 ．
点评：本题考查等比数列的证明和求数列{a_n}的通项公式a_n，．解题时要认真审题，注意构造法和错位相减法的合理运用．