Question

在正方体ABCD—A₁B₁C₁D₁中,P为DD₁的中点,O为底面ABCD的中心,求证:B₁O⊥PA.

Answer 1

证法一:(以平面B₁BDD₁为基础面)如图,

∵AO⊥BD,B₁B⊥面ABCD,

∴AO⊥BB₁.

∴AO⊥面BB₁D₁D.

∴PO就是AP在平面BB₁D₁D上的射影.

设AB=a,连结PB₁,∵BD=B₁D₁=,

∴OB=OD=.∴OB₁²=

又OP²=,

PB₁²=,

∴OP²+OB₁²=PB₁²,即B₁O⊥OP,

故B₁O⊥PA.

证法二:(以平面A₁ADD₁为基础面)如图,

∵B₁A₁⊥平面A₁ADD₁,O点在平面A₁ADD₁上的射影恰为AD的中点M,

∴B₁O在面A₁ADD₁中的射影为A₁M.

又∵Rt△A₁AM≌Rt△ADP,∴A₁M⊥AP.

由三垂线定理,知B₁O⊥PA.

评析:(1)不同的选择,使问题的解决过程有难有易,由此体现出灵活性并非轻而易举获得,需要加强训练.

(2)本题有趣的是在线段A₁B₁上任取一点Q,都有结论QO⊥AP.请读者思考为什么.